与$\mathbb{P}^{2}\times\mathbb{P}^{2}$-纤维化相关的素$\mathbb{Q}$-Fano三维流形的关键簇。第二部分

我们构造了一个具有${\rm GL}_{2}$-和$(\mathbb{C}^{*})^{4}$-作用的$15$维仿射簇$\Pi_{\mathbb{A}}^{15}$。将由指定变量置为$1$而从$\Pi_{\mathbb{A}}^{15}$得到的仿射簇记为$\Pi_{\mathbb{A}}^{14}$（精确定义参见本文定义1.1）。令$\Pi_{\mathbb{P}}^{13}$为$\Pi_{\mathbb{A}}^{14}$的若干加权射影化，$\Pi_{\mathbb{P}}^{14}$为添加一个权为一的坐标后$\Pi_{\mathbb{P}}^{13}$上的加权锥。我们证明$\Pi_{\mathbb{P}}^{13}$或$\Pi_{\mathbb{P}}^{14}$作为加权完全交，给出了分次环数据库中第308、501、512、550、577、872、878和1766类的八类余维数为四的素$\mathbb{Q}$-Fano三维流形的例子。$\Pi_{\mathbb{A}}^{15}$的构造基于某类非投影（unprojection）并受R.Taylor提交至华威大学的博士论文启发。我们还证明$\Pi_{\mathbb{A}}^{15}$的偏射影化在仿射空间$\mathbb{A}^{10}$上有一个$\mathbb{P}^{2}\times\mathbb{P}^{2}$-纤维化。为说明此点，我们引入另一个$13$维仿射簇$H_{\mathbb{A}}^{13}$，其与$\mathbb{A}^{2}$的一个开集的乘积同构于$\Pi_{\mathbb{A}}^{15}$的一个开集的六次覆盖。