均值中心化 Wiener 过程的 Karhunen-Loève 展开

对于 $\gamma>-{1/2}$，我们给出加权均值中心化 Wiener 过程的 Karhunen-Lo\`{e}ve 展开，其定义为 $$W _{\gamma}(t)=\frac{1}{\sqrt{1+2\gamma}}\Big\{W\big(t^{1+2\gamma}\big)- \int_0^1W\big(u^{1+2\gamma}\big)du\Big\},$$ 其中 $t\in(0,1]$。我们表明这些展开中的正交函数可以用 Bessel 函数的简单表达式给出。此外，我们得到 $W_{\gamma}$ 的 $L^2[0,1]$ 范数与加权 Brownian 桥 $t^{\gamma}B(t)$ 的 $L^2[0,1]$ 范数同分布。