基于 Karhunen-Lo\`eve 展开的 $\alpha$-布朗桥推断

我们研究区间 $[0,1]$ 上 $\alpha$-布朗桥 $X^{(\alpha)}$ 缩放参数的一个简单决策问题：给定两个值 $\alpha_0, \alpha_1 \geq 0$ 且 $\alpha_0 + \alpha_1 \geq 1$ 以及某个时间 $0 \leq T \leq 1$，我们希望基于直到时刻 $T$ 对 $X^{(\alpha)}$ 的观测来检验 $H_0: \alpha = \alpha_0$ 对 $H_1: \alpha = \alpha_1$。似然比可以写成 $X^{(\alpha)}$ 的二次型 $\psi(X^{(\alpha)})$ 的泛函。为了计算零假设下 $\psi(X^{(\alpha)})$ 的分布，我们将 Karhunen-Lo\`eve 定理推广到 $[0,1]$ 上的正有限测度，并计算了在此类测度下 $X^{(\alpha)}$ 的 Karhunen-Lo\`eve 展开。基于该展开，$\psi(X^{(\alpha)})$ 的分布由 Smirnov 公式给出。