由辫化 C*-张量范畴构造的 AF-代数的 $K$-理论

Renault、Wassermann、Handelman 与 Rossmann（1980 年代初）以及 Evans 与 Gould（1994）明确描述了某些含单位元 AF-代数 $A$ 的 $K$-理论为多项式环（的商）。本文中，我们证明在每种情形下，多项式环（商）中的乘法均由一个 $*$-同态 $A\otimes A\to A$ 所诱导，该同态源于 C*-张量范畴上的酉辫化结构，且本质上由 Erlijman 与 Wenzl（2007）所定义。我们还基于 Gepner、Fuchs 等人的工作给出了一些新的显式计算。具体而言，我们对秩二紧李群 SU(3)、Sp(4) 与 G$_2$ 进行了计算，类似于 Evans-Gould 对秩一紧李群 SU(2) 的计算。Verlinde 环是共形场论中 Wess-Zumino-Witten 模型的融合环，或等价地，是某些相关 C*-张量范畴的融合环。Freed、Hopkins 与 Teleman（2000 年代初）通过扭曲等变 $K$-理论实现了这些环。受此启发，我们的长期目标是以更简单的 $K$-理论方式实现这些环，避免圈群分析的技术细节。作为朝此方向的一步，我们注意到在某些特殊情形下上述 Verlinde 环可按前述方式恢复。