k-辛结构与超凯勒流形中的绝对三解析子簇

设 $(M,I,J,K)$ 为一个超凯勒流形，$Z\subset (M,I)$ 为 $(M,I)$ 中的复子簇。若 $Z$ 关于 $J$ 和 $K$ 均为复解析的，则称 $Z$ 为三解析的；若 $Z$ 关于包含 $I$ 的任意超凯勒三元复结构组 $(M,I,J',K')$ 均为三解析的，则称其为绝对三解析的。对于 $M$ 上的_generic_复结构 $I$，$(M,I)$ 的所有复子簇均为绝对三解析的。已知三解析子簇的正规化 $Z'$ 是光滑的；我们证明当 $M$ 具有最大和乐群（即 $M$ 为 IHS）时，$b_2(Z')$ 不小于 $b_2(M)$。为了进一步研究绝对三解析子簇，我们定义了一种新的几何结构，称为 k-辛结构；该结构是超辛结构的推广。$2d$ 维流形 $X$ 上的 k-辛结构是指 $X$ 上一个 $k$ 维闭 2-形式空间 $R$，其中所有形式的秩均为 $2d$ 或 $d$。若 $R$ 中所有退化形式构成的集合是 $R$ 中的一个光滑非退化二次超曲面，则称该结构为非退化的。我们考虑了最大和乐群超凯勒流形 $M$ 中的绝对三解析环面。我们证明了任何此类环面都装备有一个非退化的 k-辛结构，其中 $k=b_2(M)$。我们展示了 k-辛流形的切丛 $TX$ 是克利福德代数 $Cl(k-1)$ 上的克利福德模。由此可知，在满足 $b_2(M)\geq 2r+1$ 的超凯勒流形 $M$ 中，绝对三解析环面的维数至少为 $2^{r-1}$。