$\Delta$-正则毛虫树的 $k$-平面放置与填充

本文研究所谓超平面设置中的\emph{填充}问题，即宿主图在某种意义下“几乎平面”的情形。具体而言，我们考虑宿主图为 $k$-平面的情形，即它允许每条边至多 $k$ 个交叉的嵌入，并聚焦于 $\Delta$-正则毛虫树族，即非叶顶点具有相同度 $\Delta$ 的毛虫树。我们研究了 $k$ 与所填充毛虫树数量 $h$ 之间的依赖关系，既包括这些毛虫树彼此全部同构的情形（此时该填充称为\emph{放置}），也包括它们不同构的情形。我们给出了放置 $h$ 棵 $\Delta$-正则毛虫树的充要条件，以及填充一组 $\Delta_1$-、$\Delta_2$-、…、$\Delta_h$-正则毛虫树的充分条件，其中对于 $1 \leq i,j \leq h$ 且 $i\neq j$，不同毛虫树的非叶顶点度 $\Delta_i$ 与 $\Delta_j$ 可以互不相同。