平面图的解缠

平面图 $G$ 的直线绘制 $\delta$ 未必是平面的，但可以通过\emph{解缠}（即移动 $G$ 的部分顶点）使其变为平面绘制。令 shift$(G,\delta)$ 表示为使 $\delta$ 解缠所需移动的最小顶点数。我们证明计算 shift$(G,\delta)$ 及其近似问题是 NP 难的。我们的硬度结果可扩展至著名的图绘制问题 \textsc{1BendPointSetEmbeddability} 的一个版本。此外，我们定义 fix$(G,\delta)=n-shift(G,\delta)$ 为在解缠 $\delta$ 时能够保持不动的 $n$ 顶点平面图 $G$ 的最大顶点数。我们给出了一种算法，在解缠 $n$ 顶点图 $G$ 的绘制时，至少能固定 $\sqrt{((\log n)-1)/\log \log n}$ 个顶点。若 $G$ 是外平面图，同一算法至少能固定 $\sqrt{n/2}$ 个顶点。另一方面，对于任意大的 $n$，我们构造了一个 $n$ 顶点平面图 $G$ 及其绘制 $\delta_G$，满足 fix$(G,\delta_G) \le \sqrt{n-2}+1$；以及一个 $n$ 顶点外平面图 $H$ 及其绘制 $\delta_H$，满足 fix$(H,\delta_H) \le 2 \sqrt{n-1}+1$。因此，我们的算法在外平面图情形下是渐近最坏情况最优的。