2-层拟平面性抑或毛虫如何攀爬 (SPQR-)树

给定二部图 $G=(V_b,V_r,E)$，$2$-层拟平面性（2-Level Quasi-Planarity）问题询问是否存在 $G$ 在平面中的一种绘制，使得 $V_b$ 与 $V_r$ 中的顶点分别沿两条平行线 $\ell_b$ 与 $\ell_r$ 排列，$E$ 中每条边绘制在由 $\ell_b$ 与 $\ell_r$ 界定的平面无界条带中，且 $E$ 中无三条边两两交叉。我们证明 $2$-层拟平面性问题为 NP-完全。这回答了 Dujmović、Pór 和 Wood 的一个开放问题。此外，我们表明若 $V_b$ 中顶点沿 $\ell_b$ 的排序给定，则该问题变为线性时间可解。我们的贡献提供了关于识别拟平面图计算复杂性的首批结果，这是一个长期存在的开放问题。我们的线性时间算法利用了若干要素，包括以具有毛虫状结构的平面嵌入之存在性对问题正例的组合刻画，以及基于 SPQR 树测试此类平面嵌入存在性的算法。我们的算法建立在对嵌入类型按其包含毛虫部分的结构分类之上，并基于以常量大小小配件对其特征做简洁描述来计算可实现的嵌入类型。