具有给定边长的 2-树平面直线实现

我们研究三十年前由 Eades 与 Wormald 提出的一个经典问题。设 $G=(V,E,\lambda)$ 为一个带权平面图，其中 $\lambda: E \rightarrow \mathbb{R}^+$ 是一个长度函数。固定边长平面实现问题（简称 FEPR）询问是否存在 $G$ 的一个平面直线实现，即 $G$ 的一个平面直线绘图，其中每条边 $e \in E$ 的欧氏长度为 $\lambda(e)$。Cabello、Demaine 与 Rote 证明了即便 $\lambda$ 为所有边赋予相同值且图是三连通的，FEPR 问题也是 NP 难的。由于已知 NP 难证明的关键在于存在大的三连通子式，本文中我们考察加权 $2$-树（即无 $K_4$ 子式）上 FEPR 问题的计算复杂性。我们证明了其 NP 难性，即便 $\lambda$ 仅为边赋予至多四种不同长度。反之，我们证明当 $\lambda$ 为边赋予至多两种不同长度，或输入具有给定嵌入时，FEPR 问题是线性时间可解的。此外，我们考虑加权极大外平面图上的 FEPR 问题，并证明若其对偶树为一条路径则可线性时间求解，若其对偶树为一条毛虫则可立方时间求解。最后，我们证明加权 $2$-树上的 FEPR 问题关于最长路径长度是切片多项式的。