Kneser 图上的 $k$- domination 不变量

作为 [M.G.~Cornet, P.~Torres, arXiv:2308.15603] 的后续工作（该研究探讨了 Kneser 图 $K(n,r)$ 中的 $k$-tuple 支配数和 2- packing 数），本文关注 $K(n,r)$ 的两个变体：$k$-支配数 ${\gamma_{k}}(K(n,r))$ 和 $k$-tuple 全支配数 ${\gamma_{t\times k}}(K(n,r))$。对于这两个不变量，我们通过证明对于任意 $n\ge 2(k+r)$ 有 ${\gamma_{k}}(K(n,r))\ge {\gamma_{k}}(K(n+1,r))$，以及对于任意 $n\ge 2r+1$ 有 ${\gamma_{t\times k}}(K(n,r))\ge {\gamma_{t\times k}}(K(n+1,r))$，确立了单调性结果。我们证明了当 $n\geq r(k+r)$ 时，${\gamma_{k}}(K(n,r))={\gamma_{t\times k}}(K(n,r))=k+r$，且在这种情况下每个 ${\gamma_{k}}$-集和 ${\gamma_{t\times k}}$-集都是一个团（clique）；而对于任意 $k\ge 2$，有 ${\gamma_{k}}(r(k+r)-1,r)={\gamma_{t\times k}}(r(k+r)-1,r)=k+r+1$。关于 $K(n,r)$ 的 2-packing 数 $\rho_2(K(n,r))$，我们证明了当 $r\ge 10$ 时 $\rho_2(K(3r-3,r))$ 的精确值，并通过施加 $r$ 相对于 $n$ 的界限，给出了 $\rho_2(K(n,r))$ 等于某些小值的充分条件。我们还证明了 Kneser 图 2-packing 数的一个单调性版本。