直径为3的无K$_4$特征图

设$G$为有限群，$\rm{Irr}(G)$为$G$的所有不可约复特征标之集。设$\rm{cd}(G)$为$G$的所有特征标次数之集，记$\rho(G)$为整除$\rm{cd}(G)$中某些特征标次数的素数之集。与$G$相关联的特征图$\Delta(G)$是以$\rho(G)$为顶点集的图，两个不同素数$p$与$q$之间有边当且仅当乘积$pq$整除$G$的某个特征标次数。假设特征图$\Delta(G)$无K$_4$且直径为3。本文证明$|\rho(G)|\neq 5$，当且仅当$G\cong J_1 \times A$，其中$J_1$为第一Janko散在单群，$A$为阿贝尔群。