约根森不等式与纯螺旋转双生成元自由克莱因群

设$\xi$和$\eta$为双曲$3$空间$\mathbb{H}^3$的两个非交换等距，使得$\Gamma=\langle\xi,\eta\rangle$是一个纯螺旋转自由克莱因群。对于$\gamma\in\Gamma$和$z\in\mathbb{H}^3$，令$d_{\gamma}z$表示$z$与$\gamma\cdot z$之间的距离。令$z_1$和$z_2$分别为连接$\xi$、$\eta\xi\eta^{-1}$和$\eta^{-1}\xi\eta$的轴的最短测地线段的中点。本文证明了若对每一个$\gamma\in\{\eta, \xi^{-1}\eta\xi, \xi\eta\xi^{-1}\}$有$d_{\gamma}z_2<1.6068...$，且$d_{\eta\xi\eta^{-1}}z_2\leq d_{\eta\xi\eta^{-1}}z_1$，则$$|\text{trace}^2(\xi)-4|+|\text{trace}(\xi\eta\xi^{-1}\eta^{-1})-2|\geq 2\sinh^2\left(\tfrac{1}{4}\log\alpha\right) = 1.5937....$$ 其中$\alpha=24.8692...$是多项式$21 x^4 - 496 x^3 - 654 x^2 + 24 x + 81$大于$9$的唯一实根。同时还猜想了该不等式对有限生成纯螺旋转自由克莱因群的推广。