位置记数法中最左数字分布与施兹勒斯猜想的联合分布

设 $n \geq 2$ 且 $B = (b_1,...,b_n)$ 的整数条目互不相同且均 $\geq 3$。对于 $x > 0$，记 $d_B(x) := (d_{b_1}(x),...,d_{b_n}(x))$，其中 $d_{b_i}(x) \in \{1,...,b_i-1\}$ 为 $x$ 在以 $b_i$ 为底的位置记数表示中的最左数字。我们证明若 $d_B$ 为满射，则 $\ln b_i$ 与 $\ln b_j$ 在 $i \neq j$ 时是无理数。我们对 $n = 2$ 证明了反向情况，而对于 $n \geq 3$ 若 $\{\ln p : p \mbox{ prime} \}$ 是代数无理数，则成立，这一条件由关于超越数的施兹勒斯猜想暗示。