论数字的字典序表示

本文证明，与普遍看法相反，零的概念对于数字的位值表示并非必要。即，对于任意正整数 $k$，给出了一种使用符号 $1, 2, \ldots, k$ 的位值表示，它保留了基为 $k$ 的通常位值表示（使用符号 $0, 1, 2 \ldots, k-1$）的所有本质性质。此外，在这种无零表示中，符号序列所标识的数字对应于该序列在如下排序中的次序：较短序列排在较长序列之前，而同长序列之间考虑字典的通常字典序。本文证明了该字典序表示的主要性质，并给出了字典序与经典位值表示之间的转换算法。无零位值表示在数学史视角下，以及在新兴计算模型和基因组非传统表示的视角下，均具有相关性。