闭子局面的联合不一定形成格子

给定局面 $L$，由闭子局面组成的联合集合记为 $\mathsf{S}_c(L)$，它形成一个格子——这在意料之外，因为它自然嵌入到所有子局面的 coframe 中，其中我们所指的 coframe 是格子的序论双关。此构造在点自由拓扑学中引起了注意：作为帧范畴中的最大必然扩展，其 (非) 函reme性质、其与规范扩张和精确滤器的关系等。理论中的一个核心开放问题，由 Picado、Pultr 和 Tozzi 于 2019 年提出，询问 $\mathsf{S}_c(L)$ 是否总是形成一个 coframe，或者是否存在某个局面使得它不成立。在本文中，我们以否定答案来解决这一问题，通过构造一个局面 $L$ 使得 $\mathsf{S}_c(L)$ 不是 coframe。此类问题的主要挑战在于难以理解 $\mathsf{S}_c(L)$ 中的精确下确界；我们通过分析 $\mathsf{S}_c(L)$ 满足的某种分离性质来克服这一挑战。