$W^{1,p}$ 同胚的雅可比行列式,情形 $p=[n/2]$

我们研究一个已知问题:$\mathbb{R}^n$ 中区域间的 Sobolev 同胚能否改变其雅可比行列式的符号。唯一尚未解决的情形是当 $f\in W^{1,[n/2]}$,$n\geq 4$ 时。我们证明:若 $n\geq 4$,且保向同胚 $f$ 满足 $f\in W^{1,[n/2]}$、$f^{-1}\in W^{1,n-[n/2]-1}$,并且要么 $f$ 在几乎所有维数为 $[n/2]$ 的球面上 Hölder 连续,要么 $f^{-1}$ 在几乎所有维数为 $n-[n/2]-1$ 的球面上 Hölder 连续,则 $f$ 的雅可比行列式几乎处处非负,即 $J_f\geq 0$。该结果是本文所证更一般结论的推论。此处 $[x]$ 表示小于或等于 $x$ 的最大整数。