群代数分解无法由 Prym 簇实现的 Jacobian 簇

有限群 $G$ 在紧致 Riemann 曲面 $X$ 上的作用自然地诱导了 $G$ 在其 Jacobian 簇 $\operatorname{J}(X)$ 上的另一个作用。在许多情况下，$\operatorname{J}(X)$ 的群代数分解的每个分量都同构于 Galois 覆盖 $\pi_G\colon X \to X/G$ 的某个中间覆盖的 Prym 簇；在这种情况下，我们称该群代数分解可由 Prym 簇实现。在本文中，我们提出了一族无限的群，它们以使得 $\operatorname{J}(X)$ 的群代数分解无法由 Prym 簇实现的方式作用于 Riemann 曲面；具体而言，这些群是仿射群 $\operatorname{Aff}(\mathbb{F}_q)$，但有以下例外：$q = 2$，$q = 9$，$q$ 为 Fermat 素数，$q = 2^n$ 且 $2^n-1$ 为 Mersenne 素数，以及当 $X/G$ 的亏格为 $0$ 或 $1$ 时的某些特殊情况。在每一个此类例外情形中，我们给出了 $\operatorname{J}(X)$ 由 Prym 簇实现的群代数分解。