Brin-Higman-Thompson 群的同构

设 $m, m', r, r',t, t'$ 为正整数且 $r, r' \ge 2$。设 $L_r$ 表示以一个可逆 $1 \times r$ 矩阵为泛对象的环。设 $M_m(L_r^{\otimes t})$ 表示 $L_r$ 的 $t$ 个副本的张量积上的 $m \times m$ 矩阵环。以自然的方式，$M_m(L_r^{\otimes t})$ 是一个带对合的偏序环。设 $PU_m(L_r^{\otimes t})$ 表示正定酉元群。我们证明 $PU_m(L_r^{\otimes t})$ 同构于 Brin-Higman-Thompson 群 $t V_{r,m}$；$t =1$ 的情形由 Pardo 发现，即 $PU_m(L_r)$ 同构于 Higman-Thompson 群 $V_{r,m}$。我们综述了 Abrams, Ánh, Bleak, Brin, Higman, Lanoue, Pardo 和 Thompson 的论证，证明了 $t' V_{r',m'} \cong tV_{r,m}$ 当且仅当 $r' = r$，$t'=t$ 且 $\gcd(m',r'-1) = \gcd(m,r-1)$（当且仅当 $M_{m'}(L_{r'}^{\otimes t'})$ 与 $M_m(L_r^{\otimes t})$ 作为带对合的偏序环同构）。