极小Cantor系统的同源：从Sturmian到Denjoy及区间交换

本工作受实数连分数展开研究的启发：我们用动力学术语描述了实数在$\mathrm{PGL}_2(\mathbb{Q})$作用下的轨道。一个实数产生一个编码圆周旋转的Sturmian系统。众所周知，实数的$\mathrm{PGL}_2(\mathbb{Z})$-等价性（由其连分数展开的尾特征刻画）等价于Sturmian系统的流等价。我们证明了对实数乘以$m\in \mathbb{Z}$的作用对应于取其Sturmian系统的$m$次幂，随后进行我们称之为其无穷小2-渐近因子的操作。这促使我们引入零维系统间同源的概念：它结合了虚流等价与无穷小渐近等价。我们发展了涉及上同调不变量与状态的工具，用于对系统进行同源分类。随后我们利用此工具，用Sturmian系统给出了实数$\mathrm{PSL}_2(\mathbb{Q})$-等价性的完整描述。我们通过$\mathrm{PGL}_{2}(\mathbb{Q})$对其不变量的作用，对该类中Denjoy系统的同源进行了分类。我们还研究了Sturmian系统的最终流等价：我们证明对于非二次参数，它等价于拓扑共轭，而对于二次参数，它蕴含完全流等价及其他算术约束。在另一方向上，我们考虑满足Keane条件的区间交换。我们用区间诱导子系统（或其在双边Rauzy归纳图中的路径尾部）刻画了流等价。最后，我们找到了涉及相关遍历测度的长度模与SAF不变量的同源有理不变量。这导出了关于它们同源分类的猜想，并在完全遍历情况下予以证明。