可达粒子配置空间是否稠密？

设 $p_0,\ldots,p_n$ 为欧几里得空间 $\R^d$ 中的一组有限点序列。假设每个点 $p_i$ 处都有一个（点状）粒子。 在一次“合法”移动中，可以将其中一个粒子从其当前位置跳过另一粒子，落在对方位置的正好相同距离处。在什么情况下可以保证：对于任意 $\varepsilon>0$ 和任意另一组点序列 $q_0,\ldots, q_n\in\R^d$，都存在一系列有限的合法移动，使每个 $p_i$ 上的粒子同时移动到 $q_i$ 的 $\varepsilon$ 邻域内？我们证明，只有当由向量 $p_1-p_0,\ldots,p_n-p_0$ 生成的加法群在 $\R^d$ 中稠密时，这才可能实现。