自由局部凸空间 $L(X)$ 是核空间吗？

给定巴拿赫空间类 $\mathcal P$，若局部凸空间（LCS）$E$ 能同构嵌入到属于 $\mathcal P$ 的空间的乘积中，则称 $E$ 为{\em 多重-$\mathcal P$} 的。我们研究自由局部凸空间 $L(X)$ 是否为强核、核、Schwartz、多重-Hilbert 或多重-自反的问题。若 $X$ 是含有无限紧子集的 Tychonoff 空间，则由 \cite{Aus} 的结果可知 $L(X)$ 不是核空间。我们证明对此类 $X$，自由 LCS $L(X)$ 具有更强的非多重-Hilbert 性质。我们推得：若 $X$ 是 $k$-空间，则以下性质等价：(1) $L(X)$ 强核；(2) $L(X)$ 核；(3) $L(X)$ 多重-Hilbert；(4) $X$ 可数且离散。另一方面，我们证明对每個投射可数 $P$-空间（特别地，对每个 Lindel"of $P$-空间）$X$，$L(X)$ 是强核的。我们观察到每个 Schwartz LCS 都是多重-自反的。已知若 $X$ 是 $k_\omega$-空间，则 $L(X)$ 是 Schwartz LCS \cite{Chasco}，从而 $L(X)$ 是多重-自反的。我们证明对任意首可数仿紧（特别地，可度量化）空间 $X$，逆命题成立，即 $L(X)$ 多重-自反当且仅当 $X$ 是 $k_\omega$-空间，等价地，当且仅当 $X$ 是局部紧且 $\sigma$-紧空间。类似地，我们证明对任意首可数仿紧空间 $X$，自由阿贝尔拓扑群 $A(X)$ 是 Schwartz 群当且仅当 $X$ 是局部紧空间且其所有非孤立点组成的集合 $X^{(1)}$ 是 $\sigma$-紧的。