由 $\operatorname{PGL}_4(\mathbb{C})$ 中所有有限本原群作用的不变光滑四次曲面

对于 $\operatorname{PGL}_4(\mathbb{C})$ 的每个有限本原子群 $G$，我们求出所有光滑的 $G$-不变四次曲面。我们还求出了由群 $\mathfrak{A}_5,\mathfrak{S}_5, \operatorname{PSL_2(\mathbb{F}_7)},\mathfrak{A}_6,\mathbb{Z}_2^4\rtimes\mathbb{Z}_5$ 和 $\mathbb{Z}_2^4\rtimes D_{10}$ 给出的光滑四次 $G$-不变曲面的 $\operatorname{PGL}_4(\mathbb{C})$ 中所有忠实表示。这些群的本原表示恰好是 $\operatorname{PGL}_4(\mathbb{C})$ 中使得 $\mathbb{P}^3$ 不是 $G$-超刚性的子群。作为副产品，我们证明了具有最大射影自同构群的光滑四次曲面由 $\{ x_0^4 + x_1^4 + x_2^4 + x_3^4 + 12 x_0 x_1 x_2 x_3= 0\}$ 给出（在射影等价下唯一）。