内禀贝叶斯 Cramér-Rao 界及其在协方差矩阵估计中的应用
统计理论
2024-09-10 v3 机器学习
应用统计
机器学习
统计理论
摘要
本文针对如下估计问题给出一种新的性能界：待估参数位于黎曼流形（赋予黎曼度量的光滑流形）上且服从给定先验分布。在此设定下，所选黎曼度量诱导了参数流形的几何以及估计误差度量的内禀概念。此类误差度量的性能界此前在非贝叶斯情形（未知参数假定为确定性）下已获得，并被称为\textit{内禀} Cramér-Rao 界。本文结果因此可视为：\textit{a}) 内禀 Cramér-Rao 界向贝叶斯估计框架的推广；\textit{b}) 考虑了上述几何结构的 Van-Trees 不等式（贝叶斯 Cramér-Rao 界）的推广。在第二部分的，我们利用这一形式化方法研究当数据服从高斯分布且其协方差矩阵抽自逆 Wishart 分布时的协方差矩阵估计问题。针对该问题，我们在均方误差（欧几里得度量）和厄米正定矩阵的自然黎曼距离（仿射不变度量）下均获得了性能界。数值模拟表明，用仿射不变度量评估误差能揭示最大后验和最小均方误差估计量的有趣性质，而这些性质在使用欧几里得度量时观察不到。
引用
@article{arxiv.2311.04748,
title = {Intrinsic Bayesian Cram\'er-Rao Bound with an Application to Covariance Matrix Estimation},
author = {Florent Bouchard and Alexandre Renaux and Guillaume Ginolhac and Arnaud Breloy},
journal= {arXiv preprint arXiv:2311.04748},
year = {2024}
}