Fredholm算子的区间分支定理及其在有界域上椭圆超定问题中的应用

我们通过 $0$-群建立了指数为 $0$ 的 Fredholm 算子的局部区间分支定理与全局区间分支定理。作为应用之一，我们研究了一族从小球分支出来的非平凡区域 $\Omega_{\rho}\subset \mathbb{R}^N$ ($N=2,3$ 或 $4$) 的存在性，使得问题 \begin{equation} -\Delta u=u-\left(u^+\right)^3\,\, \text{in}\,\,\Omega_{\rho}, \, u=0,\,\,\partial_\nu u=\text{const}\,\,\text{on}\,\,\partial\Omega_{\rho} \nonumber \end{equation} 具有变号有界解。与近期结果 \cite[Theorem 2.1]{Ruiz} 相比，此处我们得到的是一族区域 $\Omega_{\rho}$ 而非一列区域。