3-adic Cantor集乘法平移的交集II：两个无限族

本文继续研究一般乘法平移$\mathcal{C}(M_1,\ldots,M_n)=\frac{1}{M_1}\Sigma_{3,\bar{2}}\cap\cdots\cap\frac{1}{M_n}\Sigma_{3,\bar{2}}$的有限交集结构，其中$M_i$为满足$1\leq M_1<\cdots<M_n$的整数，$\Sigma_{3,\bar{2}}$表示3-adic Cantor集。本研究的动机来自关于$3$进制整数$\mathbb{Z}_3$上由乘以$2$给出的离散动力系统的问题。例外集$\mathcal{E}(\mathbb{Z}_3)$定义为在该作用下前向轨道与3-adic Cantor集$\Sigma_{3,\bar{2}}$有无穷多次交集的$\mathbb{Z}_3$中所有元素的集合。猜想其Hausdorff维数为0。第一部分表明，在所有$M_i$均为2的幂的情况下，可以从上述类型集合的Hausdorff维数中提取例外集Hausdorff维数的上界。这些交集集合被证明是分形，其点具有可由有限自动机中的标记路径描述的3进制展开，其Hausdorff维数可精确计算，形式为$\log_3(\beta)$，其中$\beta$为实代数整数。该文给出了确定自动机的算法，并计算了示例，表明自动机和$\beta$值对参数$(M_1,\ldots,M_n)$的依赖关系是复杂的。本文研究两个新的无限族示例，展示了自动机和关联分形的Hausdorff维数的有趣行为。一族具有关联自动机，其有向图包含任意大深度的强连通分量嵌套序列。第二族给出了$\mathcal{E}(\mathbb{Z}_3)$的Hausdorff维数的一个改进上界$\log_3 \phi \approx 0.438018$，其中$\phi$表示黄金比例。