有向图偏 Lovász 向量间小于等于关系的相互依赖

对于有向图 $G$ 与 $H$，令 ${\cal H}(G,H)$ 为从 $G$ 到 $H$ 的所有同态的集合，令 ${\cal S}(G,H)$ 为其中将所有真弧映射为 $H$ 中真弧的同态的子集。由早前研究我们已知，对特定有向图 $R$ 与 $S$，关系“对所有 $G \in \mathfrak{ D }'$，有 $\# {\cal S}(G,R) \leq \# {\cal S}(G,S)$”蕴含“对所有 $G \in \mathfrak{ D }'$，有 $\# {\cal H}(G,R) \leq \# {\cal H}(G,S)$”，其中 $\mathfrak{ D }'$ 是有向图的一个子类。现在我们追问其逆：对哪些有向图 $R, S$ 及哪些有向图子类 $\mathfrak{ D }'$，“对所有 $G \in \mathfrak{ D }'$，有 $\# {\cal H}(G,R) \leq \# {\cal H}(G,S)$”蕴含“对所有 $G \in \mathfrak{ D }'$，有 $\# {\cal S}(G,R) \leq \# {\cal S}(G,S)$”？我们针对三类有向图类的组合证明了该蕴含。特别地，对所有平坦偏序集 $R, S$ 相对于所有平坦偏序集 $G$，这些关系是等价的。