上循环的积分与微分算子的莱夫谢茨数公式

设${\mathcal E}$为复流形$X$上的全纯向量丛，且$\dim_{{\mathbb C}}X=n$。给定形式全纯微分算子代数${\rm Diff}_n$的任意连续基本Hochschild $2n$-上循环$\psi_{2n}$，可从${\mathcal E}$上的任意全纯微分算子${\mathcal D}$得到一个$2n$-形式$f_{{\mathcal E},\psi_{2n}}(\mathcal D)$。我们应用之前的结果[J. Noncommut. Geom. 2 (2008), 405-448; J. Noncommut. Geom. 3 (2009), 27-45]证明，$\int_X f_{{\mathcal E},\psi_{2n}}({\mathcal D})$给出$\mathcal D$的莱夫谢茨数，相差一个与$X$和${\mathcal E}$无关的常数。此外，我们得到一个推广上述结论的“局部”结果。当$\psi_{2n}$是来自[Duke Math. J. 127 (2005), 487-517]的上循环时，我们得到Engeli-Felder莱夫谢茨数定理的一个新证明及其推广。我们还得到了一个关于B. Shoikhet在复可平行流形上平凡向量丛的微分算子全纯非交换留数构造的类似“局部”结果。这使我们能够对任意紧复流形$X$上的任意向量丛${\mathcal E}$，严格构造由B. Shoikhet定义的$\mathcal D$的全纯非交换留数。我们的局部结果立即给出了[Geom. Funct. Anal. 11 (2001), 1096-1124]中猜想3.3的一个推广的证明。