伪微分代数丛与傅里叶积分算子的几何

我们研究了光滑流形 $X$ 上（滤过）代数丛 ${\bf\Psi}^{\mathbb Z}$ 的几何与拓扑，其典型纤维为 $\Psi^{\mathbb Z}(Z; V)$，即在紧流形 $Z$ 上作用于向量丛 $V$ 的光滑截面的整数阶经典伪微分算子代数。首先，Duistermaat 和 Singer 的一个定理被推广为：射影可逆傅里叶积分算子群 ${\rm PGL}({\mathcal F}^\bullet(Z; V))$ 正是伪微分算子滤过代数 ${\rm Aut}(\Psi^{\mathbb Z}(Z; V))$ 的自同构群。我们用微局部论据替换了他们论文中的一些论证，从而去除了拓扑假设，并将结果推广到向量丛的截面。我们定义了与该代数丛 ${\bf\Psi}^{\mathbb Z}$ 相关联的主丛的自然联络类和 B-场，并利用李代数上的外导数以及 Guillemin 和 Wodzicki 的留数迹，获得了 Dixmier-Douady 类的 de Rham 代表元；所得公式仅依赖于形式符号代数 ${\bf\Psi}^{\mathbb Z}/{\bf\Psi}^{-\infty}$。文中给出了不关联于 $X$ 上有限维纤维丛的伪微分代数丛的示例。