Jacobi 第二类函数乘积的积分表示

通过从 Durand 双积分表示出发，对两个二次型 Jacobi 函数的乘积进行推导，我们得到一种核形式的积分表示。我们还推导出两个二次型 Jacobi 函数乘积的 Bateman 类型求和。从这些积分表示，我们推导出 Jacobi 函数的一阶函数在双曲和三角情境下的积分表示。从 Jacobi 函数的积分表示，我们还推导出诸如第一类和第二类的关联 Legendre 函数、Ferrers 函数以及第一类和第二类的 Gegenbauer 函数等极限函数乘积的积分表示。通过考察这些乘积中一个乘积在相关函数奇点附近的行为，我们还推导出单个函数的积分表示，包括一种 Laplace 类型积分表示，用于 Jacobi 第二类函数。最后，我们使用第二类函数的乘积公式，推导出 Nicholson 类型积分关系，用于第一类和第二类的 Jacobi 函数平方和，以及在共轭极限下，第一类和第二类的 Laguerre 函数，这些关系概括了 $\expe^{ix}\expe^{-ix}=1$ 对这些函数的推广。