两平方和 Jacobi 恒等式的构造性证明

我们给出两平方和 Jacobi 恒等式的一个构造性证明。我们给出 Jacobi 三重积的组合证明，并结合 Hirschhorn 的一个证明来定义一种算法。其输入为一个因子分解 $n=dN$，其中 $d \equiv1\mod 4$，外加两位数据；输出要么为另一个因子分解 $n=d'N'$ 且 $d' \equiv3\mod 4$ 并带两位数据，要么为一对平方和为 $n$ 的整数。我们用整数分拆与无限图上的匹配来表述该算法。