超奇异核积分方程——理论及其在断裂力学中的应用

本文研究超奇异积分 $I_{\alpha}(T_n,m,r) = \int_{-1}^{1} \hpsngAbs \frac{T_n(s)(1-s^2)^{m-{1/2}}}{(s-r)^\alpha}ds |r|<1$ 与 $I_{\alpha}(U_n,m,r) = \int_{-1}^{1} \hpsngAbs \frac{U_n(s)(1-s^2)^{m-{1/2}}}{(s-r)^\alpha}ds |r|<1$，其中 $\alpha$ 为一般正整数、m 为一般非负整数，$T_n(s)$ 与 $U_n(s)$ 分别为第一类与第二类切比雪夫多项式。对 $\alpha = 1, 2, 3, 4$ 与 $m = 0, 1, 2, 3$ 的情形导出了精确公式，其中大多数对应于本文给出的新解。此外，提供了当 $\alpha > 4$ 且 $m>3$ 时计算这些积分的系统性方法。为计算应力强度因子（SIFs），还在 $|r|>1$ 时对这些积分求值。给出并讨论了涉及裂纹问题的例子，重点阐明数学与断裂力学之间的关联。例子包括经典线弹性断裂力学（LEFM）、功能梯度材料（FGM）与梯度弹性理论。附录给出了广泛一类积分的闭式解，作为本文补充。