可积系统与曲线的对称积

我们展示了如何对每个非常数多项式 $F(x,y)$ 关联一个完全可积系统，该系统的多项式不变量定义在 $\Rd$ 和 $\C{2d}$ 上，对每个 $d\geq1$ 均成立；事实上，这些不变量不仅对于一个泊松括号是对合的，而且对于一大类由两变量多项式族索引的多项式泊松括号也是对合的。我们证明了复不变流形同构于代数曲线 $F(x,y)=0$ 的形变之 $d$ 重对称积的仿射部分，并由此导出实不变流形的结构。我们还给出了超椭圆情形（即 $F(x,y)$ 形如 $y^2+f(x)$）的 Lax 方程，并证明在此情形下不变流形是曲线雅可比簇中特异（非线性）子簇的仿射部分。作为应用，揭示了 Hénon-Heiles 族——平面上可叠加的可积多项式势族——的几何结构，并给出了该族的 Lax 方程。