多项式不变量下的可积非线性振子：构造、庞加莱几何与解析稳定性边界

从非线性ODE $z'' + f(t) z + g(t) z^{m}=0$（其中 $m>1$）出发，我们表明，对任何Hill方程进行适当的正规形化简后，可无需损失 generality 地将线性部分固定为 $f(t)\equiv \omega^{2}$（其中 $\omega>0$ 为常数）。对于类 $z''+\omega^{2}z+g(t) z^{m}=0$（其中 $m>1$），我们的目标是编译所有可能可积情况的目录。我们限制关注关于变量 $z$ 和 $p=z'$ 的多项式积分。Hamiltonian因其显式时间依赖而不提供此类积分。相反，我们寻找关于 $z'=p$ 的二次形式的不变量。我们表明，此类不变量恰好存在当 $\alpha_2(t):=g(t)^{-2/(m+3)}$ 满足线性三阶ODE $\alpha_2''' + 4\omega^2 \alpha_2'=0$ 时。此结果产生三参数解 $g(t)=[a_0+a_1\cos(2\omega t)+a_2\sin(2\omega t)]^{-(m+3)/2}$。当 $m=2$ 时，这复现了Hagel--Bouquet (1992)中发现的指数 $-5/2$ 的三角函数结构。此外，我们基于该不变量采用庞加莱截面进行详细的稳定性分析，并发现与数值仿真结果完全一致。