可积 $\mathbb{Z}_2^2$ grading 的超 Liouville 方程与诱导的 $\mathbb{Z}_2^2$ grading 的超 Virasoro 代数

我们提出了一种从 $\mathbb{Z}_2^2$ grading 的 Lie 代数体系扩展到 $\mathbb{Z}_2^2$ grading 的 Lie 超代数体系的框架，以构建 $\mathbb{Z}_2^2$ grading 的经典 Toda 理论。该方案用于推导基于 $\mathbb{Z}_2^2$ grading 扩展的 $\mathfrak{osp}(1|2)$ 的 $\mathbb{Z}_2^2$ grading 超 Liouville 方程。本文所运用的数学工具包括 $\mathbb{Z}_2^2$ grading 版本的 zero-curvature 形式化与 Polyakov 的焊接程序。我们展示，两种方法均得到相同的 $\mathbb{Z}_2^2$ grading 超 Liouville 方程。此外，还 presenting 对所得方程解的代数构造及其 B\"acklund 变换。进一步地，通过对 $\mathbb{Z}_2^2$-$\mathfrak{osp}(1|2)$ 的 WZNW currents 进行哈密顿约化，得到了三种全新的 $\mathbb{Z}_2^2$ grading 超 Virasoro 代数的扩展。