二阶梯度非线性弹性中的单射性

我们研究涉及二阶梯度的非线性弹性模型的单射性。假设 $\Omega\subset\mathbb{R}^n$ 是一个区域，$f\in W^{2,q}(\Omega,\mathbb{R}^n)$ 满足 $|J_f|^{-a}\in L^1$ 且在 $\partial \Omega$ 上等于给定同胚。在关于 $q$ 和 $a$ 的适当条件下，我们证明 $f$ 必为同胚。作为一个主要新工具，我们找到了 $a$ 和 $q$ 的一个最优条件，其蕴含 $\mathcal{H}^{n-1}(\{J_f=0\})=0$，从而 $J_f$ 不能变号。我们进一步依 $q$ 和 $a$ 明确了临界集 $\{J_f=0\}$ 的最大Hausdorff维数 $d$。我们构造相应反例以证明关于 $d$ 的条件之尖锐性。