信息丢失、混合与涌现的 III$_1$ 型因子

黑洞信息丢失问题的一个表现是：大 Anti-de Sitter 黑洞中探针算符的两点函数随时间衰减，而在边界 CFT 上它应是时间的几乎周期函数。我们指出两点函数的衰减（时间上的聚类）对量子引力中可观测量代数、态与动力学的本质具有重要线索。我们将随时间聚类的算符称为“混合的”，并探讨混合的必要与充分条件。信息丢失问题是如下陈述的特例：在 I 型代数中不存在混合算符。我们证明，在热场双重态(KMS 态)中，若混合算符构成一个代数（在乘法下封闭），则所得代数必为 von Neumann III$_1$ 型因子。换言之，所有非守恒算符都应扩散这一物理直观要求如此之强，以至于它将可观测量代数固定为一个称为 III$_1$ 型因子的奇特代数。更一般地，对一般量子系统（von Neumann 代数）的任意非平衡态，我们证明若在模流下混合的算符集合构成一个代数，则它是一个 III$_1$ 型 von Neumann 因子。在广义自由场(GFF)理论中，我们证明若 GFF 的两点函数随时间聚类，则所有算符都是混合的，且该代数为 III$_1$ 型因子。例如，在 $\mathscr{N=4}$ SYM 中，Hawking-Page 相变之上，单迹算符的聚类意味着该代数为 III$_1$ 型因子，从而解决了 Leutheusser 与 Liu 近期的一个猜想。我们利用 HKLL 重构映射显式构造了 GFF 的 C$^*$-代数及与时间段以及更一般地体时空开集相关的 von Neumann 子代数。