$(n-1)$-连通 $2n$-流形的惯性群与光滑结构

令 $M^{2n}$ 表示一个闭的 $(n-1)$-连通可光滑化拓扑 $2n$-流形。我们证明了 $M^{2n}$ 的光滑化同痕类群 $\mathcal{C}(M^{2n})$ 在 $n=4$ 或 $5$ 时同构于光滑同伦球群 $\overline{\Theta}_{2n}$；在 $n=3$、$4$、$5$ 或 $11$ 时，同痕惯性群 $I_c(M^{2n})=0$；在 $n=4$ 时，同伦惯性群 $I_h(M^{2n})=0$。在此过程中，遵循 Wall 的方法 \cite{Wal67}，我们给出了 \cite{KS07} 主要结果的新证明，即对于 $n=4$、$8$ 且 $H^{n}(M^{2n};\mathbb{Z})\cong \mathbb{Z}$，惯性群 $I(M^{2n})\cong \mathbb{Z}_2$。我们还证明了，在保定向微分同胚意义下，$M^{8}$ 至多有两个不同的光滑结构；$M^{10}$ 恰好有六个不同的光滑结构；并且证明了如果 $M^{14}$ 是一个 $\pi$-流形，则 $M^{14}$ 恰好有两个不同的光滑结构。