无平方因子基数的 Yang-Baxter 方程不可分解解

研究了基数 $p_1\cdots p_n$（其中 $p_1,\ldots, p_n$ 为不同素数）的不可分解对合非退化集合论 Yang-Baxter 方程解 $(X,r)$。证明它们是水平 $\leq n$ 的多重置换解。特别地，不存在非素数无平方因子基数的简单解。这解决了 [F. Cedó, J. Okniński, Constructing finite simple solutions of the Yang-Baxter equation, Adv. Math. 391 (2021), 107968] 中提出的问题，并提供了对若干早期关于解不可分解性结果的深远推广。证明基于对与此类解相关联的置换群 $\mathcal G(X,r)$ 上 brace 结构的详细研究。证明了 $p_1,\ldots, p_n$ 是整除 $\mathcal{G}(X,r)$ 阶的唯一素数。此外，$\mathcal{G}(X,r)$ 的 Sylow $p_i$-子群是初等交换 $p_i$-群，若 $P_i$ 表示左 brace $\mathcal{G}(X,r)$ 加法群的 Sylow $p_i$-子群，则存在置换 $\sigma\in S_n$ 使得 $P_{\sigma(1)}, \, P_{\sigma(1)}P_{\sigma(2)}, \dots , P_{\sigma(1)}P_{\sigma(2)}\cdots P_{\sigma(n)}$ 是左 brace $\mathcal{G}(X,r)$ 的理想且 $\mathcal{G}(X,r)=P_1P_2\cdots P_n$。另外，对每个非负整数 $n$，构造了基数为 $p_1\cdots p_n$ 且为水平 $n$ 多重置换的不可分解解。