二次 Weyl 和分布的尾部估计改进

我们考虑二次 Weyl 和 $S_N(x;c,\alpha)=\sum_{n=1}^N\exp\{2\pi i((\frac{1}{2}n^2+cn)x+\alpha n)\}$，其中 $c=\alpha=0$（有理情形）或 $(c,\alpha)\notin\mathbb{Q}^2$（无理情形），$x$ 依关于 Lebesgue 测度绝对连续的概律测度随机分布。当 $N\to\infty$ 时，$\frac{1}{\sqrt{N}}S_N(x;c,\alpha)$ 在复平面中的极限分布由 Marklof [13]（分别对应有理情形）与 Cellarosi 和 Marklof [5]（无理情形）给出。依该极限分布，落于半径 $R$ 球外的概率在有理情形下渐近于 $\frac{4\log 2}{\pi^2}R^{-4}(1+o(1))$，在无理情形下为 $\frac{6}{\pi^2}R^{-6}(1+O(R^{-12/31}))$（当 $R\to\infty$）。本文中我们改进 Cellarosi 与 Marklof [5] 的技术，将对已知尾部估计改进为对每个 $\varepsilon>0$ 有 $\frac{4\log 2}{\pi^2}R^{-4}(1+O_\varepsilon(R^{-2+\varepsilon}))$ 与 $\frac{6}{\pi^2}R^{-6}(1+O_\varepsilon(R^{-2+\varepsilon}))$。在有理情形下，我们依赖于有理 horocycle 提升到经典模曲面单位切丛上环面丛的等分布。所有由 $O_\varepsilon$ 记号隐含的常数均被显式给出。