四次 Weyl 和的界

我们改进了参数为二次无理数的四次指数和的标准 Weyl 估计。具体而言，我们证明了对于任意 $\ep>0$ 和任意二次无理数 $\alpha\in\R-\Q$，有 $$\sum_{n\le N} e(\alpha n^4)\ll_{\ep,\alpha}N^{5/6+\ep}$$。经典情况下，对于此类 $\alpha$，指数为 $7/8+\ep$。与作者早期关于三次 Weyl 和的工作（依赖于 $abc$-猜想）\cite{cubweyl} 不同，我们表明对于四次情形，van der Corput $AB$-步长已足够，而不需要三次和所需的 $BAAB$-过程。