具有有理参数的二次 Weyl 和的重尾与紧支撑分布

我们考虑二次 Weyl 和 $S_N(x;\alpha,\beta)=\sum_{n=1}^N \exp\!\left[2\pi i\left( \left(\tfrac{1}{2}n^2+\beta n\right)\!x+\alpha n\right)\right]$,其中 $(\alpha,\beta)\in\mathbb{Q}^2$,而 $x\in\mathbb{R}$ 依据关于 Lebesgue 测度绝对连续的概率测度随机分布。我们证明,当 $N\to\infty$ 时,$\frac{1}{\sqrt{N}}S_N(x;\alpha,\beta)$ 在复平面上的极限分布要么是重尾的,要么是紧支撑的,且仅取决于 $\alpha,\beta$。在重尾情形下,极限分布下落在半径为 $R$ 的球外的概率被证明渐近于 $\mathcal{T}(\alpha,\beta)R^{-4}$,其中常数 $\mathcal{T}(\alpha,\beta)>0$ 是显式的。该结果源于对形如 $S_N^f(x;\alpha,\beta)=\sum_{n\in\mathbb{Z}} f\left(\frac{n}{N}\right)\exp\!\left[2\pi i\left( \left(\tfrac{1}{2}n^2+\beta n\right)\!x+\alpha n\right)\right]$(其中 $f$ 是正则的)的广义二次 Weyl 和乘积的类似结论。当 $N\to\infty$ 时,$\frac{1}{N}S_N^{f_1}\bar{S_N^{f_2}}(x;\alpha,\beta)$ 的极限分布的精确尾部可用一个测度来描述——该测度依赖于 $(\alpha,\beta)$——即非紧致齐性空间上两个 Jacobi theta 函数乘积的超水平集的测度。此类测度通过有理 horocycle 提升到经典模曲面覆盖的单位切丛上的环面丛的等分布定理得到。环面在 theta 群仿射作用下有理点轨道的基数与几何在 $\mathcal{T}(\alpha,\beta)$ 的计算中起着关键作用。本文补充并推广了 Cellarosi 与 Marklof [6] 以及 Marklof [32] 的工作,其中考虑了 $(\alpha,\beta)\notin\mathbb{Q}^2$ 与 $\alpha=\beta=0$ 的情形。