多分辨率自编码器 DeepONet:用于前向与反向随机问题非线性降维、不确定性量化及算子学习的 MultiAuto-DeepONet

本文提出一种用于随机微分方程(SDE)算子学习的数据驱动新方法。核心目标是在有限数据下更有效地求解前向与反向随机问题。深度算子网络(DeepONet)近来被提出用于算子学习。与其他学习函数的神经网络相比,它着眼于学习非线性算子的问题。然而,使用原始模型来学习高维随机问题的非线性算子可能具有挑战性。我们提出一种新的多分辨率自编码器 DeepONet 模型,称为 MultiAuto-DeepONet,借助卷积自编码器应对这一困难。网络的编码器部分旨在降维并发现高维随机输入的隐藏特征。解码器被设计为具有特殊结构,即 DeepONet 的形式。解码器中的第一个 DeepONet 用于重构含随机性的输入函数,而第二个用于逼近所求方程的解。这两个 DeepONet 具有一个公共分支网络和两个独立主干网络。该架构使我们能自然处理多分辨率输入。通过对网络添加 $L_1$ 正则化,我们发现分支网络与两个主干网络的输出均具有稀疏结构。这减少了神经网络中可训练参数的数量,从而使模型更高效。最后,我们进行了若干数值实验以说明所提 MultiAuto-DeepONet 模型在不确定性量化下的有效性。