低空间 MPC 中改进的确定性 $(\Delta+1)$-着色

我们提出了一种确定性的 $O(\log \log \log n)$ 轮低空间大规模并行计算（MPC）算法，用于 $n$ 顶点图上的经典 $(\Delta+1)$-着色问题。在该模型中，每台机器具有大小为 $n^{\phi}$ 的亚线性本地内存，其中 $\phi \in (0,1)$ 为任意常数。我们的算法在宽松设定下工作，即允许每台机器执行指数级（关于 $n^{\phi}$）的本地计算，同时遵守 $n^{\phi}$ 的空间和带宽限制。我们的关键技术贡献是对 Chang-Li-Pettie（STOC 2018, SIAM J. Comput. 2020）巧妙的 $(\Delta+1)$-着色 LOCAL 算法的全新去随机化。Chang-Li-Pettie 算法运行 $T_{local}=poly(\log\log n)$ 轮，确立了该问题在本地模型中的最先进随机轮复杂度。我们的去随机化结合了多种工具，最显著的是伪随机数生成器（PRG）和有界独立哈希函数。所达成的 $O(\log\log\log n)$ 轮复杂度与 $\log(T_{local})$ 的界限相匹配，该界限目前作为此模型中所有已知随机算法的局部可检验问题的上界壁垒。此外，此前未有确定性的亚对数低空间 MPC 算法用于 $(\Delta+1)$-着色问题。