Banach空间度量余型不等式的改进界

我们证明，如果(X, ||.||_X)是一个具有Rademacher余型q的Banach空间，那么对每个整数n，存在一个偶数m < n^{1+1/q}，使得对每个f: Z_m^n --> X，有$\sum_{j=1}^n \Avg_x [ ||f(x+ (m/2) e_j)-f(x) ||_X^q ] < C m^q \Avg_{\e,x} [ ||f(x+\e)-f(x) ||_X^q ]$，其中期望是关于均匀选取的x∈Z_m^n和ε∈{-1,0,1}^n，且所有隐含常数仅依赖于q和X的Rademacher余型q常数。这改进了[Mendel, Naor 2008]中的界m < n^{2+1/q}。上述不等式的证明基于一个“光滑化与逼近”过程，该过程简化了[Mendel, Naor 2008]中Rademacher余型度量刻画定理的证明。我们还证明了任何此类用于度量余型不等式的“光滑化与逼近”方法必然要求m > n^{(1/2)+(1/q)}。