关于某些面约束着色问题的改进界

一个$2$-边连通平面图的面奇偶边着色是一种面真边着色，其中每个面与每种颜色的零条或奇数条边关联。一个$2$-连通平面图的面奇偶顶点着色是一种面真顶点着色，其中每个面与每种颜色的零个或奇数个顶点关联。Czap和Jendroľ（见Facially-constrained colorings of plane graphs: A survey, Discrete Math. 340 (2017), 2691--2703）猜想两种着色均只需$10$种颜色。我们给出了对两个猜想均成立的无穷族反例。平面图$G$的面$(P_{k}, P_{\ell})$-WORM着色是一种顶点着色，使得$G$不含彩虹面$k$-路且无单色面$\ell$-路。Czap、Jendroľ和Valiska（见WORM colorings of planar graphs, Discuss. Math. Graph Theory 37 (2017), 353--368）证明了对于任意整数$n\ge 12$，存在一个具有$n$个顶点、最大度至少为$6$的连通平面图，没有面$(P_{3},P_{3})$-WORM着色。他们还问是否存在最大度为$4$且具有相同性质的图。我们证明对于任意整数$n\ge 18$，存在一个最大度为$4$的连通平面图，没有面$(P_{3},P_{3})$-WORM着色。