基于优化的高阶间断 Galerkin 方法的隐式激波追踪

文献[38]引入了一种利用隐式追踪和高阶间断 Galerkin（DG）离散化来求解守恒律不连续解（例如接触线、激波和界面）的新框架。该框架的核心是一个优化问题，其解是一个间断对齐的网格及相应的流的高阶近似，无需对未知间断面进行显式网格划分。该方法被证明能在粗的高阶离散化上给出高精度解而无需非线性稳定化，并对具有不连续解的问题恢复最优收敛速率。本工作扩展了隐式追踪框架，从而提高了鲁棒性并加速了收敛。特别地，我们引入了中心优化问题的改进公式及相关的序列二次规划（SQP）求解器。新的基于误差的目标函数在 enriched 测试空间中惩罚 DG 残差违反，并被证明具有优异的追踪特性。SQP 求解器同时使网格节点坐标和 DG 解收敛到其最优值，并配备若干特性以确保鲁棒快速收敛：Hessian 的 Levenberg-Marquardt 近似带加权椭圆正则化、回溯线搜索以及严格收敛准则。我们使用所提方法求解一系列难度各异的无粘守恒律。我们表明该方法能在粗的高阶网格上给出精确解，且 SQP 求解器鲁棒并通常能将一阶最优系统驱动至严格容差。