基于优化的守恒律间断解高阶精度离散方法

本文提出一种新颖的间断追踪框架，用于以支持单元间解间断的高阶数值离散（如间断伽辽金方法）求解守恒律的间断解。该方法旨在通过变形计算网格使单元间边界与解中的间断对齐。间断对齐的网格确保间断通过单元间跳跃表示，而单元内部的光滑基函数仅用于逼近解的光滑区域，从而避免产生众所周知的稳定性问题的吉布斯现象。因此，只要间断被追踪，非常粗的高阶离散即可准确分辨整个计算域中的分段光滑解。所提间断追踪框架的核心是一种离散偏微分方程约束优化公式，其同时使计算网格与解中的间断对齐并在该网格上求解离散守恒律。优化目标取为有限维解偏离其单元平均的偏差与网格畸变度量的组合，以同时惩罚吉布斯现象与畸变网格。我们主张采用基于梯度的全空间求解器，其中网格与守恒律解同时收敛至其最优值，因此从不需要在非对齐网格上求解离散守恒律。该方法的优点通过若干一维和二维模型问题（包括二维钝体绕超音速流）得以展示。我们展示了直至多项式阶p=6时在L^1范数下的最优$\mathcal{O}(h^{p+1})$收敛速率，并表明在极粗网格上即可获得准确解。