Hyper-Catalan 与 Geode 递推关系及 Wildberger 的三个猜想

Hyper-Catalan 数 $C[m_2,m_3,m_4,\ldots]$ 用于计数屋顶多边形划分为 $m_2$ 个三角形、$m_3$ 个四边形、$m_4$ 个五边形等的子划分。其闭式解自 Erd\'elyi 和 Etherington 于 1940 年已知。2025 年，Wildberger 和 Rubine 表明其生成和 $\mathbf{S}[t_2,t_3,t_4,\ldots]$ 是一般几何单变量多项式的零。我们利用这一点推导了 Hyper-Catalan 的递推式，该递推式将每个数表达为其他指数更小的 Hyper-Catalan，泛化了众所周知的 Catalan 卷积和。Wildberger 指出因式分解 $\mathbf{S}-1=(t_2 + t_3 + t_4 + \ldots)\mathbf{G}$，其中因子 $\mathbf{G}$ 称为 Geode。我们推导了一种递推式，允许我们表达 Geode 系数以其他 Hyper-Catalan 和 Geode 系数为主，最终仅以 Hyper-Catalan 为主。我们利用它证明了 Wildberger 的三个猜想，全部是 $\mathbf{G}$ 特殊情况元素的闭式解。尽管该递推式允许我们将每个 Geode 系数扩展为 Hyper-Catalan 的整数组合，从而进行计算，但一般情况下的 Geode 系数的闭式解仍未知，亦不知道其计数含义。