Catalan 数的一种新解释

面向 Kashiwara B(infinity) 晶体的研究，引入了由满足特定边界条件的无序分区的等价类给出的函数集 H^t。此处证明 H^t 是 t 阶 Catalan 集，即 H^t 的基数为第 t 个 Catalan 数 C(t)。这是对 Catalan 集的一种新描述，并且具有一些显著特征。因此，与 H^t 相关联的标记图 G_t 被证明可典范分解为 (t-1)! 个子图，每个具有 2^{t-1} 个顶点。这些称为 S-图 的子图具有研究 B(infinity) 所需的一些紧密性质。它们被描述为标记超立方体，其中连接具有相同标签的顶点的边缺失。证明如此得到的不同超立方体的数量再次是一个 Catalan 数，即 C(t-1)。它们定义依赖于非负整数系数集的函数。当后者非零且两两互异时，S-图的顶点描述不同的函数。此外，如果删除某些边并识别某些顶点，该性质保留。特别地，当这些系数全相等且非零时，证明每个超立方体退化为单形，恰好产生 t 个不同的函数，例如这正是 A 型 B(infinity) 描述中所需要的那些函数。