使用 Wildberger 多项式公式证明 Fine 身份的新方法

1959 年，N. J. Fine 证明了对应自然数 $n$ 分割成 $r$ 部分的多项式系数之和是一个二项式系数：$$\sum_{\substack{k_1 + k_2 + k_3 + {}\ldots = r \\ k_1 + 2k_2 + 3k_3 + {}\ldots = n }} \binom{r}{k_1, k_2, k_3, \ldots } = \binom{n - 1}{r - 1}$$ Fine 提供了相当简洁的证明，尽管我们仍在那个说"我们从一个重要但显而易见的声明开始"的部分感到困惑。2025 年，Wildberger 和 Rubine 提出了从称为\textit{subdigons}的具备顶点、分割多边形的非结合代数中导出的通用多项式的级数解。我们将 subdigons 推广为\textit{tubdigons}，其中包括 2 边形，并以两种方式计数给定类型的 tubdigons：通过简单计数论证（以组合文献为依据）以及通过使用 Wildberger 的多项式公式来求解由 tubdigons 的多重集规范暗示的多项式。将相应术语进行比较即可得到 Fine 身份。